问题原型

赌徒手里有 x 元，每一局输的概率恒定为 p ，请问赌徒最终输光的概率?

酒鬼徘徊(在坐标轴上左右移动)回家，目前酒鬼在坐标轴上 x 处，家在原点 0 处，请问酒鬼最终回到家的概率为多少?

比特币中(中本聪的文章引入Gambler’s Ruin problem)两条链比赛输赢的概率问题，具体就是攻击者最终挖得的链比诚实者挖出的块儿要更多，此时攻击者就可以堂而皇之地取而代之，问题就是估算攻击者的胜算，以及当诚实者超前攻击者多少块的时候可以从概率上给予”无法篡改“这一保证。

抛出疑问

赌徒输光指的是连续输掉手里的所有钱吗?是连续吗?

输掉一元钱指的就是输掉本局吗?

前要分析和交代

1.赌徒刚开始手中的钱记为 x 0 x_0x

0

​

,到输光这个过程记为序列

x 0 , x 1 , . . . , x n ， x i = ̸ x n , i < n , x n = 0 x_0,x_1,...,x_n，x_i=\not x_n,i<n,x_n=0

x

0

​

,x

1

​

,...,x

n

​

，x

i

​

=

̸

​

x

n

​

,i

n

​

=0

即强调 “赌徒输光”指的是“赌徒第一次手里没钱，赌局结束”，不存在比如

1 元 → 0 元 → − 1 元 → 0 元 1元 \rightarrow0元\rightarrow -1元\rightarrow 0元

1元→0元→−1元→0元

即，不存在经过 0 元的情况。0 元只能出现一次，而且是出现在终点。

2. 记酒鬼回到家的轨迹为序列

x 0 , x 1 , . . . , x n , x i = ̸ x n , i < n , x n = 家 的 位 置 坐 标 x_0,x_1,...,x_n,x_i=\not x_n,i<n,x_n=家的位置坐标

x

0

​

,x

1

​

,...,x

n

​

,x

i

​

=

̸

​

x

n

​

,i

n

​

=家的位置坐标

即强调，”酒鬼从 x 移到 y 处“指的是”酒鬼第一次碰到 y 处，即刻停止移步“，不存在比如

x → . . . → y → . . . → y x\rightarrow...\rightarrow y\rightarrow...\rightarrow y

x→...→y→...→y

即强调 y 在轨迹中只能出现一次而且是在终点。

四、回答疑问

根据上述1,2两点知道，输掉1元绝对不是输掉本局局，而是指过程

x 0 → . . . → x 0 − 1 , x i = ̸ x 0 − 1 x_0\rightarrow ... \rightarrow x_0-1,x_i=\not x_0-1

x

0

​

→...→x

0

​

−1,x

i

​

=

̸

​

x

0

​

−1

显然这个序列可以有无穷多种方式，进而知

P ( 输 掉 1 元 ) = ̸ P ( 输 掉 本 局 ) = p P(输掉1元)=\not P(输掉本局) = p

P(输掉1元)=

̸

​

P(输掉本局)=p

赌徒输光也绝不是连续输掉x 0 x_0x

0

​

局，而是指过程

x 0 → . . . → x n , x i = ̸ 0 , i < n , x n = 0 x_0\rightarrow ...\rightarrow x_n,x_i=\not 0,i<n,x_n=0

x

0

​

→...→x

n

​

,x

i

​

=

̸

​

0,i

n

​

=0

显然这个序列也是有无穷多种，进而知

P ( 赌 徒 输 x 0 元 ) = ̸ P ( 赌 徒 连 续 输 掉 x 0 局 ) = p x 0 P(赌徒输x_0元)=\not P(赌徒连续输掉x_0局)=p^{x_0}

P(赌徒输x

0

​

元)=

̸

​

P(赌徒连续输掉x

0

​

局)=p

x

0

​