因子分析的实际应用

在市场调研中，研究人员关心的是一些研究指标的集成或者组合，这些概念通常是通过等级评分问题来测量的，如利用李克特量表取得的变量。每一个指标的集合(或一组相关联的指标)就是一个因子，指标概念等级得分就是因子得分。

因子分析在市场调研中有着广泛的应用，主要包括：

(1)消费者习惯和态度研究(U&A)

(2) 品牌形象和特性研究

(3)服务质量调查

(4) 个性测试

(5)形象调查

(6) 市场划分识别

(7)顾客、产品和行为分类在实际应用中，通过因子得分可以得出不同因子的重要性指标，而管理者则可根据这些指标的重要性来决定首先要解决的市场问题或产品问题。

因子分析理论思想

因子分析(Factor Analysis)是一种数据简化的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个独立的不可观测变量来表示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显式变量，而假想变量是不可观测的潜在变量，称为因子。

主成分分析利用的是“降维”的思想，利用原始变量的线性组合组成主成分。在信息损失较小的前提下，把多个指标转化为几个互补相关的综合指标。

因子分析是主成分分析的扩展和推广，通过对原始变量的相关系数矩阵内部结构的研究，导出能控制所有变量的少数几个不可观测的综合变量，通过这少数几个综合变量去描述原始的多个变量之间的相关关系。。

因子分析的数学模型可以表示为Xp×1=Ap×m·Fm×1+ep×1，其中X为可实测的p维随机向量，它的每个分量代表一个指标或变量。

F=(F1, F2,...,Fm)T为不可观测的m维随机向量，它的各个分量将出现在每个变量之中，所以称它们为公共因子。矩阵A称为因子载荷矩阵，矩阵中的每一个元素称为因子载荷，表示第i个变量在第j个公共因子上的载荷，它们需要由多次观测X所得到的样本来估计。

向量e称为特殊因子，其中包括随机误差，它们满足条件：

(1)Cov(F,e)=0，即F与e不相关。

(2)Cov(Fi,Fj)=0,i≠j，Var(Fi)=Cov(Fi, Fj)=I，即向量F的协方差矩阵为m阶单位阵。(

3)Cov(ei,ej)=0,i≠j，Var(ei)=σi2，即向量e的协方差矩阵为p阶对角阵。因子分析的基本思想是通过变量的相关系数矩阵内部结构的分析，从中找出少数几个能控制原始变量的随机变量Fi(i=1,2,...,m)，选取公共因子的原则是使尽可能多地包含原始变量中的信息，建立模型X=A· F+e，忽略e，以F代替X，用它再现原始变量X的众多分量之间的相关关系，达到简化变量降低维数的目的。